Articles Populaires

Choix De L'Éditeur - 2020

Critères de Kelly ou comment les traders des fonds spéculatifs calculent la taille de la position

Parmi les nombreuses sources d’information, il est parfois assez difficile de trouver l’information nécessaire et de la rassembler dans un tout. Cela est principalement dû au fait que la plupart des auteurs de livres, d'articles et de cours sur le commerce sont des personnes qui sont loin des mathématiques. Par conséquent, beaucoup de choses sont décrites superficiellement, certains points sont généralement interprétés de manière incorrecte. Le deuxième problème est que de nombreux amateurs de Forex sont également des personnes qui ne sont pas très familiarisées avec ces mathématiques mêmes, et il serait difficile de comprendre certaines des nuances de la même gestion de l'argent sans se plonger dans la nature des formules.

Aujourd’hui, nous analyserons le critère de Kelly et la manière de l’appliquer sur le marché sans formules complexes ni termes mathématiques. Toutes les conclusions et preuves, recherches, théorèmes et autres difficultés seront omis, mais je parlerai plutôt des résultats de toutes les choses terribles énumérées ci-dessus dans un langage simple et compréhensible.

Historique des tests de Kelly

A l'instar des stratégies d'Alembert et de Martingale, le critère de Kelly est connu des passionnés de paris sportifs depuis de nombreuses années. Ils tentent de résoudre le problème du taux optimal depuis le XVIIIe siècle, avec la discussion du paradoxe de Saint-Pétersbourg par Daniel Bernoulli. Même sur cette question, les points de vue étaient partagés: certains essayaient de minimiser la probabilité de perdre la totalité du dépôt pour un certain nombre de transactions futures, tandis que d'autres, au contraire, souhaitaient obtenir l'augmentation maximale possible pour ce nombre de transactions. Une autre approche consiste à évaluer l'argent en utilisant la fonction utilitaire. En d'autres termes, tout se résume à tirer le meilleur parti de votre dépôt. Au 18ème siècle, Daniel Bernoulli utilisa la fonction utilitaire pour tenter de résoudre le paradoxe de Saint-Pétersbourg, mais en vain.

John Larry Kelly a rappelé la formule en 1956, soulignant certaines de ses propriétés intéressantes. A cette époque, il travaillait pour AT & T Bell Laboratories, une entreprise de télécommunications, électronique et systèmes informatiques. Strictement parlant, cette formule a été appliquée par lui précisément dans ce domaine. Cinq ans plus tard, ces propriétés ont été étudiées et résumées dans une étude de Briman. Déjà dans la même année, Markowitz a décidé d’appliquer la formule aux valeurs mobilières. Et un an plus tard, en 1962, Edward O. Thorpe décrivit le critère en détail dans la première édition de son livre Beat the Dealer (Beat the Dealer). Une histoire si difficile pour ce critère, nommée non en l'honneur d'un véritable auteur et gagnée également sur les marchés financiers par la volonté d'une personne complètement différente.

Quel est le critère de Kelly et comment le calculer?

Le critère de Kelly a plusieurs propriétés pour un système commercial donné avec une attente mathématique positive et voici les plus "magiques" d'entre elles:

  • la quantité de capital augmente sans cesse;
  • la probabilité de ruine d'un joueur tend à être nulle avec l'augmentation du nombre de transactions.

En effet, en appliquant le critère de Kelly, le capital augmentera plus rapidement que toute autre méthode de gestion de fonds. En fait, en déterminant la taille du lot par cette méthode, le commerçant agit de manière optimale, mais uniquement dans un cas très spécial. Ici, par optimalité même, nous entendons ceci:

  • le plus rapidement possible, le capital atteint une valeur prédéterminée;
  • atteindre le montant maximal du capital après un nombre déterminé de transactions.

Ça sent l'overclocking, non? C'est vrai, et un peu plus tard, vous comprendrez pourquoi.

Tout d’abord, examinons la formule du critère de Kelly. Dans la littérature, vous pouvez trouver un grand nombre de formules différentes pour le calcul, et toutes seront vraies. Il existe de nombreuses variantes de formules de paris sur le réseau, que les auteurs d'articles tentent également d'appliquer aux marchés financiers. La formule la plus courante que j'ai rencontrée ressemble à ceci:

X = p - q / w, où:

p est la probabilité de gagner;

q est la probabilité de perdre;

w est la valeur moyenne du gain (il est également souvent recommandé d'utiliser la valeur moyenne du gain par rapport à la perte moyenne).

Selon la formule, vous devez toujours miser dans chaque transaction x sur la taille de votre capital. Autrement dit, si x = 0,1, alors pour chaque transaction, vous devez placer 10% de votre capital. La formule ci-dessus sera désignée ci-après comme le critère «simple» de Kelly.

Si TAKE PROFIT = STOP LOSS, c’est-à-dire W = 1, la formule se simplifie comme suit: F = P (W) - P (L).
Ainsi, si la probabilité de gagner est de 60%, alors F = 20%.

Essayons d'appliquer le critère de Kelly, calculé selon cette formule, à un système comportant un arrêt, trois niveaux de profit, un seuil de rentabilité, deux types différents de trailing stop et exit selon la méthode stochastique suivante:

Le système réalise 78,06% des transactions rentables avec un bénéfice moyen de 9,59 $ et une perte moyenne de -25,23 $.

Transférons les statistiques dans Excel pour continuer nos calculs. Nous traçons la croissance du lot fixé au gisement 0.1:

Maintenant, nous calculons le critère de Kelly pour notre système par la formule X = p - q / w:

X = 78,06 - 21,94 / (9,59 / 25,23) = 20,32%.

Horaire correspondant:

Notre dépôt a culminé à environ 1 724 000, puis nous avons entamé une série de transactions infructueuses, qui ont réduit notre bilan à 997 000.

Critère d'optimalité de Kelly

Le taux de croissance du capital relatif en fonction de l'effet de levier choisi sera proportionnel à k-0.5 * k ^ 2, où k est le critère de Kelly. Le premier terme est compréhensible - en première approximation, la vitesse devrait être proportionnelle à l’épaule, comme cela semble découler du bon sens. Le second terme décrit la perte de conversion qui, avec un faible effet de levier, est presque invisible, mais augmente rapidement avec l’effet de levier et après que Kelly ait sévèrement réduit le rendement à zéro - le territoire des grands critères se termine par un «trou pour les plus gourmands».

Avec un effet de levier croissant, le profit augmente linéairement et la perte de conversion, comme on peut le voir dans la formule, augmente de façon quadratique. Cela conduit au fait qu'avec l'augmentation de l'effet de levier, la rentabilité totale du commerce augmente de moins en moins et qu'après avoir atteint un optimum, elle commence à baisser et passe rapidement à un niveau inférieur. Il s’avère une chose étrange: nous avons, par exemple, une très bonne stratégie avec beaucoup d’affaires rentables, nous décidons d’augmenter notre effet de levier au maximum pour réduire nos revenus, ce qui a pour résultat une perte totale du compte de manière inattendue.

Le taux de croissance atteint un optimum à une valeur d'épaule de Nkselon le critère de Kelly, et avec une nouvelle augmentation de l’épaule, elle commence à diminuer, atteignant rapidement zéro et se dirigeant vers la zone négative pour des épaules excessivement grandes («pit for gledy»). Maintenant, il devrait être clair qu'il existe un lecteur optimal sur lequel nous avons une rentabilité maximale et au-dessus duquel la perte de traduction commence à faire perdre des bénéfices. Avec un endettement croissant au-dessus de l'optimum, malgré la volatilité croissante du compte, le bénéfice total diminue de moins en moins.

Il s'avère que vous ne pouvez pas lever l'épaule sans connaître à l'avance son niveau optimal de Kelly pour la stratégie utilisée. Les résultats peuvent être désagréablement surprenants. Au-dessus du critère de Kelly, il devrait y avoir une baisse de la rentabilité, vous pouvez y entrer et tomber dans le "trou pour les gourmands". C’est pourquoi il ne faut pas utiliser le critère obtenu sans réduction artificielle.

Limites de la formule standard

Presque n'importe où il n'est pas écrit que dans cette formulation, le critère de Kelly suppose que seuls les résultats peuvent être dans le système commercial:

-1x Bet (c'est-à-dire que le commerçant perd à x = 0,1 exactement 10% du dépôt);

+ wx Bet (c'est-à-dire soit gagner w, soit perdre -1).

Comme vous pouvez le constater, cette option est un cas assez particulier dans lequel il ne peut y avoir que deux résultats pour une transaction: stopper la perte ou prendre profit. Mais une option plus généralisée, où un grand nombre de résultats différents de chaque transaction est possible (par exemple, dans les systèmes utilisant le seuil de rentabilité, l'arrêt final et la sortie sur le système), cette option de calcul ne fonctionnera pas.

Par conséquent, il est nécessaire de généraliser la formule de calcul du critère de Kelly. En omettant les calculs théoriques, les preuves et les formulations, je ne donnerai que le résultat final.

Formule de test de Kelly généralisée

Supposons que nous ayons un système commercial qui donne les résultats suivants {ai, ki} pour i = 0 ... n, où k est le nombre de transactions avec un résultat, a est leur résultat, i est le nombre de transactions. Pour que ce soit plus clair: nous avons conclu de nombreuses ententes sur le système et les avons rompues par des résultats. Il s’est avéré, par exemple, pour nous 10 transactions avec bu (0%), 30 transactions avec un bénéfice de 2%, 20 transactions avec une perte de -3% et ainsi de suite. Nous pouvons avoir autant d'options que vous le souhaitez, il y en a plusieurs. Dans chacun de ces ensembles, nous avons le nombre de transactions avec un résultat (k) et le résultat lui-même (a). Si a> 0, la ou les transactions sont clôturées avec un profit, si elles sont <0, puis avec une perte.

Les transactions avec un résultat nul peuvent être rejetées, elles n'affectent pas le résultat final du système. Nous supposons maintenant que toutes les transactions (ou des tas d’opérations avec les mêmes résultats) sont ordonnées par ordre croissant, alors que nous avons au moins un groupe de transactions perdantes, c’est-à-dire a1.<>

Un système commercial avec des résultats {ai, ki} pour i = 0 ... n ne donnera un revenu que si la somme de tous les aiki> 0. Et cela se produit lorsque l'attente mathématique du système est positive. Si la somme de tous les aiki est inférieure ou égale à zéro, le système est voué à une fuite des fonds et aucun système de gestion de l'argent ne sera utile ici.

Nous introduisons la fonction:

On sait qu’il n’existe que 0

Le risque maximum dans une transaction est de | ai | x0.

Le montant moyen du capital après i transactions, en supposant que le capital initial est égal à 1, à un taux de x, peut être déterminé par la formule suivante:

Si la mise x remplit la condition G (x, 1)> 1, alors en plaçant x, le commerçant réussit.

Et le dernier point, plus susceptible de comparer les deux systèmes. Supposons que nous ayons deux systèmes {a1i, k1i} et {a2i, k2i} avec une attente positive, qui ont été testés sur le même intervalle de temps. Le premier système a traité i1, le deuxième i2, l’opérateur défini x1 dans le premier système, dans le deuxième x2. Alors le premier système sera plus efficace que le second si G1 (x1, i1)> G2 (x2, i2).

En conséquence, lors de la résolution de l’équation du paragraphe 2, nous obtenons le critère de Kelly. Il est préférable de résoudre cette équation à l'aide de programmes mathématiques spécialisés, par exemple MathCAD. Vous pouvez également utiliser Excel et l'outil de recherche de solution. Les quatrième et cinquième points servent à évaluer l'efficacité du système de négociation et vous permettent d'estimer le gain en capital moyen. Calculé en utilisant cette formule, le critère de Kelly présentera tous les avantages énumérés ci-dessus - probabilité de ruine nulle et taux de croissance du capital optimal.

Application pratique

Très probablement, si vous lisez à cet endroit, vous ne comprenez toujours pas comment calculer le critère de Kelly. Regardons un exemple simple. Ainsi, nous avons un système de tendance qui a fait 100 transactions, dont 10 rapportaient + 20%, 30 autres rapportaient + 40%, le reste perdant - vingt à -30% et quarante à -10%. Permettez-moi de vous rappeler que les revenus et les pertes sont considérés comme un pourcentage du montant du capital avant la transaction. Le système n'effectue que 30 transactions par an - le système de tendance, par exemple, sur le graphique journalier, fonctionne sur une paire de devises. Donc, nous avons 4 résultats différents +0,2, +0,4, -0,3, -0,1, et ils se sont répétés 10, 30, 20 et 40 fois, c'est-à-dire que nous avons a1 ... a4 et k1 ... k4. Tout d’abord, vérifions que l’attente mathématique est positive, sinon il n’a pas de sens d’appliquer le critère de Kelly. Nous substituons dans la formule à partir de 1 point: 0.2 * 10 + 0.4 * 30-0.3 * 20-0.1 * 40 = 2 + 12-6-4 = 4> 0, tout va bien, le système peut générer un profit. Nous composons l'équation du paragraphe 2:

E (x) = 0,2 * 10 / (1 + 0,2x) + 0,4 * 30 / (1 + 0,4x) - 0,3 * 30 / (1-0,3x) - 0,1 * 40 / (1-0,1x) = 2 /(1+0.2х)+12/(1+0.4х)-6/(1-0.3х)-4/(1-0.1х) et E (x) = 0. Nous avons aussi un critère - pour E (f) = 0 nous avons la seule racine de l'équation 0

Notre formule sera la cellule cible, qui doit être assimilée à zéro en modifiant la cellule par X. Vous savez probablement comment utiliser cet outil et, dans le cas contraire, consultez le cours Excel Trader. Voici ce que j'ai obtenu à la suite d'une énumération:

C'est presque nul, mais on arrondit quand même un petit X dans une direction plus petite, à 0,58. En d’autres termes, le taux optimal dans notre cas est de 0,58% du capital. Si vous avez utilisé un effet de levier dans le trading, vous devez apporter les résultats pour obtenir un effet de levier de 1: 1. C'est-à-dire que, sans modifications, vous pouvez passer des tests sur des systèmes de négociation avec beaucoup de 0,1 avec un dépôt de 10 000 $. Sinon, vous devez apporter les résultats de chaque transaction sous la forme appropriée.

Exemple plus complexe

Un peu plus haut, j'ai donné des statistiques sur un vrai système. Nous allons maintenant calculer le critère de Kelly pour ce système commercial en utilisant Excel.

Nous préparons des données pour construire un histogramme:

Prendre 10 poches:

Nous construisons un histogramme de la distribution des résultats de transaction et supprimons les résultats nuls:

Définir le minimum et le maximum f: 0

Ensuite, nous présentons notre formule longue:

Ensuite, nous utiliserons l’outil «Recherche de solution» et rechercherons le critère de Kelly:

Dans ce cas, il s’agit de 47,6%:

Comme vous pouvez le constater, la croissance du dépôt est encore plus significative, ce qui signifie que notre taux est plus optimal. Dans ce cas, le dépôt est tombé à 2000 $. Appliquons maintenant le critère de Kelly légèrement augmenté:

Comme vous pouvez le constater, la croissance maximale des gisements a atteint des valeurs astronomiques, mais dès qu’une série de défaillances a commencé, nous sommes rapidement partis presque à leur point de départ. Dans ce cas, avant d’atteindre le maximum, nous avons chuté à 250 $.

Et en effet, il s'avère que la croissance du dépôt est la plus rapide possible. Mais la réduction est extrêmement élevée - environ 80%. C'est pourquoi j'ai parlé de l'overclocking. Si vous ne vous trompez pas dans les tests et les calculs, le critère de Kelly vous indiquera exactement le pourcentage du dépôt que vous devez risquer afin d’obtenir la rentabilité maximale. Mais un tel commerce sera bien sûr au bord du gouffre.

Fonction de test Kelly pour les conseillers

Eh bien, voici à quoi ressemble la fonction permettant de calculer un critère simple de Kelly pour les conseillers:

La seule chose intéressante à retenir en utilisant le critère de Kelly dans vos algorithmes est que le nombre de transactions dans l'historique devrait être assez important. Vous devez être sûr que votre système a réussi à observer diverses conditions de marché, sinon, dès que ces conditions seront atteintes, vous les entrerez avec des risques excessivement élevés et perdrez le dépôt ou la majeure partie de celui-ci. Voici une démonstration visuelle du critère de Kelly dans l’œuvre:

800 transactions ont été utilisées, après quoi le lot a été calculé selon le critère de Kelly. Le graphique a une très grande volatilité, pour le moins que l'on puisse dire, il décemment "tempête". Néanmoins, nous ne pouvons perdre un dépôt que si nous n’avons pas suffisamment de transactions dans l’histoire, et l’ensemble du calcul vise spécifiquement à maximiser les profits, peu importe le choix.

Avantages du critère de Kelly

Le principal avantage du critère de Kelly est la sécurité exceptionnelle du dépôt. La probabilité de faire faillite, en jouant selon l'algorithme proposé par Kelly, est pratiquement nulle. Même en cas de recul terrifiant, votre capital diminuera d'un montant parfaitement tolérable. Par exemple, si, avec un dépôt de 1000 euros, nous perdons huit transactions représentant 6,67% du dépôt, nous aurons alors 574,19 dollars sur notre compte. Compte tenu de la longue "bande noire", un résultat acceptable, n'est-ce pas?

Inconvénients du critère de Kelly

Malgré les avantages évidents que procure le critère de Kelly en tant que système de gestion de fonds, cette approche présente certains inconvénients.

  • Premièrement, pour calculer le critère, vous avez besoin d’un historique des transactions prêt à l’emploi. Plus il y en aura, plus le calcul sera précis. Si vous utilisez des données insuffisantes pour calculer, vous risquez de prendre des risques trop élevés et de perdre un dépôt;
  • Deuxièmement, le critère de Kelly est calculé pour un prochain pari particulier. La prochaine fois, le critère devra être recompté à nouveau. Bien sûr, à chaque nouvelle transaction, les modifications ne sont pas critiques, mais, disons, toutes les 5 à 10 transactions, le critère devra être recalculé. En général, il n’est pas du tout difficile d’appliquer le cas particulier du critère décrit au début de l’article, mais il ne convient pas, à proprement parler, partout;
  • Troisièmement, la complexité des calculs limite également son utilisation pour les traders manuels négociant en intraday;
  • Quatrièmement, cette méthode de calcul rend le calendrier des dépôts trop volatil.Oui, en théorie, nous savons que nous ne pouvons pas perdre un dépôt. Mais en pratique, le commerce avec de tels risques vous ajoutera facilement des cheveux gris;
  • Cinquièmement, le critère simple de Kelly ne prend généralement pas en compte les pertes maximales d’une transaction. Dans le même temps, négocier avec le risque calculé par Kelly à 40% du dépôt et obtenir une perte supérieure à la moyenne de deux fois (ce qui est courant en général, est courant, lorsque vous n'utilisez pas le même arrêt fixe dans tous les échanges), vous obtenez un appel de marge en main. La formule plus complexe indiquée ci-dessus nous évitera partiellement cet inconvénient: elle ne prend en compte que les résultats, y compris la transaction déficitaire elle-même. Mais n'oubliez pas qu'il n'y a aucune garantie que vous n'ayez pas une perte maximale encore plus grave à l'avenir.
  • Sixièmement, aucune des formules du critère de Kelly ne tient compte de l’inégalité dans l’obtention d’opérations rentables et non rentables. En d'autres termes, il ne tient pas compte de la possibilité réelle de recevoir une longue série de pertes. Une telle série ne videra pas votre compte, mais vous perdrez probablement tous les bénéfices.

Conclusion

En fait, le critère de Kelly est un domaine de connaissances assez étendu, dont il est impossible de parler dans le cadre d’un article. De plus, tout cela ne nécessiterait pas la formation mathématique la plus faible. Mais pour ceux qui n'ont pas peur des difficultés, le critère permet de calculer:

  • la probabilité d'atteindre l'objectif fixé en n tentatives;
  • la probabilité que le capital diminue à une fraction de x de la valeur initiale;
  • la probabilité de tomber dans ou au-dessus d'une valeur spécifiée à la fin d'un certain nombre de tentatives;
  • approximation continue du temps prévu pour atteindre l'objectif;
  • la probabilité qu'une stratégie soit en avance sur une autre après n tentatives;
  • et aussi quelques fonctionnalités intéressantes.

Laissez Vos Commentaires